kumpulan materi kuliah teknik mesin

BAB I

PENDAHULUAN

 

Deskripsi              :     Membahas tentang teori dasar perpindahan kalor konduksi dan hubungannya dengan ilmu termodinamika, nilai konduktivitas termal, serta persamaan dasar difusi untuk perpindahan kalor konduksi.

 

Tujuan Instruksional Khusus (TIK):

1.       Mahasiswa dapat menjelaskan dan memahami konsep dasar perpindahan kalor konduksi

2.       Mahasiswa dapat mengetahui nilai konduktivitas termal pada berbagai bahan.

3.       Mahasiswa mampu memahami mekanisme konduksi termal pada berbagai bahan dan peranannya pada proses perpindahan kalor konduksi

4.       Mahasiswa dapat menguraikan persamaan dasar difusi kalor baik untuk bidang satu dimensi maupun multi dimensi.

 

Perpindahan kalor banyak digunakan pada berbagai proses di industri baik mekanis maupun kimia seperti peralatan penukar kalor dan unit pengolahan makanan.

Kita ketahui bahwa aliran kalor terjadi dari benda yang panas ke benda yang lebih dingin. Hal ini disebut sebagai aliran kalor (heat). Pada abad ke 18 hingga awal abad ke 19, para ilmuwan meyakini bahwa dalam tubuh terdapat fluida tak tampak yang disebut sebagai kalori (caloric). Kalori memiliki berbagai sifat, diantaranya menunjukkan ketidaksesuaian dengan hukum alam yaitu memiliki bobot dan tidak dapat diciptakan ataupun  dimusnahkan. Namun ciri khas kalori adalah mengalir dari benda panas ke benda dingin.

A.   Hubungan Perpindahan Kalor dengan Termodinamika

Ilmu termodinamika sangat penting dalam mempelajari proses transfer kalor antar sistem.  Berbagai properti atau sifat sistem dapat diperoleh melalui ilmu termodinamika yang mutlak dibutuhkan untuk memecahkan persoalan transfer kalor.  Hukum I Termodinamika untuk sistem tertutup diberikan dalam bentuk :

                                                                                      (1.1)

dimana Q  adalah laju perpindahan kalor dan W adalah laju perpindahan kerja, masing-masing dalam satuan J/s atau W. dU/dt adalah laju perubahan energi dalam (U) terhadap waktu (t).

Secara umum, perpindahan kalor dapat dianalisis melalui beberapa proses kerja, walaupun perpindahan kalor secara spesifik dapat dikombinasikan dengan kerja untuk menganalisis suatu sistem. Jika hanya terdapat kerja pdV dalam persamaan (1.1) maka persamaan tersebut dapat ditulis :

                                                                                 (1.2)

Gambar 1.1 Hukum I Termodinamika untuk system tertutup

Terdapat dua kasus khusus yang terkait dengan persamaan (1.2) tersebut, yaitu :

1.    Proses volume konstan            :                (1.3)

2.    Proses tekanan konstan          :               (1.4)

dimana H = U + pV adalah entalpi, sedangkan c_v, dan c_p masing-masing adalah kalor spesifik pada kondisi volume, dan tekanan konstan.

Jika proses berlangsung secara tak mampu mampat (incompressible) atau volume (V) konstan pada sembarang harga tekanan (p), maka nilai kedua kalor spesifik tersebut adalah sama (c_v = c_p = c). Sehingga persamaan (1.2) dapat ditulis:

                                                                               (1.5)

Pada fluida padat (solid) dan fluida cair (liquid) sering diasumsikan sebagai fluida tak mampu mampat, sehingga persamaan (1.5) dapat digunakan untuk pemecahan kasus-kasus yang melibatkan kedua jenis fluida tersebut. 

Jika proses perpindahan kalor berlangsung secara reversibel, maka persamaan (1.2) menjadi:

                                                                            (1.6)

Terlihat bahwa Q dapat dihitung dengan TdS. Berbeda dengan persamaan (1.1) dan (1.5) yang merupakan proses ireversibel dimana S bukan sebagai fungsi T, sehingga tidak mungkin dihitung dengan TdS.

B.   Perpindahan Kalor Konduksi 

Persoalan konduksi kalor mengacu pada hukum Fourier yang dipublikasikan oleh Joseph Fourier dalam bukunya Theorie Analytique de la Chaleurin pada tahun 1822. Dalam buku tersebut, dia memaparkan teori yang sangat lengkap mengenai konduksi kalor.

Fourier menyatakan hukum empiris yang melambungkan namanya, yaitu bahwa fluks kalor, q (W/m²), sebagai hasil dari konduksi termal sebanding dengan besarnya gradien temperatur dan dengan tanda yang berlawanan. Jika digunakan konstanta kesebandingan, k, maka :

                                                                                          (1.7)

Konstanta k merupakan konduktivitas termal, dengan satuan W/m.K, atau J/m.s.K, atau Btu/h.ft.⁰F.

Fluks kalor merupakan besaran vektor. Persamaan (1.7) menunjukkan bahwa jika temperatur menurun dengan x, harga q positif, mengalir searah dengan x. Jika temperatur meningkat dengan x, harga q negatif, mengalir berlawanan arah dengan x. Dengan kata lain, q akan mengalir dari temperatur tinggi menuju temperatur rendah. Persamaan (1.7) merupakan bentuk satu dimensi dari hukum Fourier. Jika dikembangkan dalam bentuk tiga dimensi (x,y,z) akan menghasilkan :

                                                                                         (1.8)

dimana:

Sehingga persamaan (1.8) dapat ditulis ke dalam tiga komponen:

                                  (1.9)

Gambar 1.2  Baron Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)

C.   Konduktivitas Termal

Konduktivitas termal sangat membantu dalam memahami proses terjadinya aliran konduksi. Nilai konduktivitas termal menunjukkan berapa cepat kalor mengalir dalam bahan tertentu. Misalnya konduksi pada gas. Kita ketahui bahwa kecepatan molekuler tergantung pada temperatur. Kita pahami pula bahwa konduksi terjadi dari dinding yang panas ke dingin dengan mengasumsikan percepatan gravitasi diabaikan seperti terlihat pada gambar berikut:

Gambar 1.3 Konduksi gas di antara dua dinding panas dan dingin

Molekul yang berdekatan dengan dinding panas akan bertabrakan dan bergabung dengan molekul pada dinding tersebut. Molekul tersebut meninggalkan dinding dengan kecepatan yang lebih tinggi dan bergabung dengan molekul yang berdekatan menuju ke sisi kanan, meningkatkan kecepatan molekul yang berdekatan. Proses tersebut berlangsung hingga molekul di sisi kanan melewati energi kinetik  pada dinding yang dingin. Di antara padatan, proses tersebut terjadi karena molekul bergetar di antara struktur geometrinya dan geometri tersebut bergetar secara menyeluruh. Proses yang demikian dapat terjadi pada elektron gas yang berpindah melalui benda padat. Proses tersebut lebih efisien pada benda padat dibanding gas. Perhatikan bahwa :

                                                                                    (1.10)

untuk konduksi dalam keadaan tunak maka harga q adalah konstan. Konstanta positif k disebut konduktivitas termal (W/m.K), sedangkan tanda negatif diselipkan agar memenuhi hukum kedua termodinamika, yaitu bahwa kalor mengalir ke tempat yang lebih rendah dalam skala suhu. 

Jadi pada benda padat, yang umumnya konduktivitas termalnya lebih tinggi dibanding gas, akan diperoleh gradien suhu yang lebih kecil untuk fluks kalor tertentu. Pada gas, k sebanding dengan kecepatan molekular dan spesifik kalor molar, dan berbanding terbalik dengan luas molekul.

Kalor mengalir pada benda padat melalui dua mekanisme, yaitu melalui angkutan elektron bebas dan melalui getaran kisi (phonon). Elektron bebas yang bergerak di dalam struktur kisi-kisi bahan, disamping dapat mengangkut muatan listrik, dapat pula membawa energi kalor dari daerah bersuhu tinggi ke daerah bersuhu rendah. Elektron ini disebut juga gas elektron. Sedangkan mekanisme getaran kisi, energi berpindah sebagai energi getaran dalam struktur kisi bahan. Getaran kisi-kisi adalah gelombang tetap yang bergerak melalui material dengan kecepatan suara. Maka persamaan konduktivitas termal pada benda padat dapat ditentukan sebagai berikut:

                                                                                       (1.11)

dimana k_el adalah konduktivitas listrik dan k_ph adalah konduktivitas getaran kisi-kisi (phonon).

Dalam banyak kasus, harga konduktivitas termal (k) tergantung pada suhu dan posisi. Secara matematis dapat ditulis sebagai:

                                                                                   (1.12)

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa bahan yang heterogen memiliki nilai konduktivitas termal yang bervariasi. Secara analitis, penyelesaian kasus tersebut sangatlah sulit. Namun untuk bahan dengan tingkat kehomogenan yang cukup tinggi, harga k hanya merupakan fungsi suhu saja atau k = k(T). Nilai k untuk gas akan meningkat dengan meningkatnya suhu, tetapi pada logam atau cairan bisa meningkat atau bahkan mengalami penurunan.

Gambar 1.4. Nilai konduksivitas termal pada berbagai bahan

Gambar 1.5 Nilai konduktivitas termal logam padat pada berbagai suhu

Gambar 1.6 Nilai konduktivitas termal cairan, dan gas pada 1 atm

Sebagian besar satuan konduktivitas termal menggunakan sistem Inggris. Jika mengacu pada sistem SI, maka faktor konversi untuk konduktivitas termal adalah sebagai berikut :

Sehingga faktor konversi dari W/m.K ke Btu/h.ft.⁰F adalah :

Misalnya tembaga yang mempunyai konduktivitas termal tertinggi pada suhu kamar sebesar 383 W/m.K. Jika dikonversi ke sistem Inggris, maka:

D.   Persamaan difusi kalor

Hukum Fourier memiliki dua variabel tergantung, T dan q. Untuk mengeliminasi q dan T, kita dikenalkan pada Hukum I Termodinamika secara implisit. Dengan memperhatikan elemen satu dimensi, seperti terlihat pada gambar 1.7.

Gambar 1.7 Konduksi kalor satu dimensi melalui elemen yang berbeda

Berdasar hukum Fourier yang diterapkan pada masing-masing sisi elemen, konduksi kalor netto yang keluar dari elemen selama aliran kalor mengalir secara tak tunak adalah :

                                                                              (1.13)

Untuk mengeliminasi hilang kalor Q_net dengan T, digunakan Hukum I Termodinamika untuk sistem tertutup dan tak bekerja :

                                             (1.14)

dimana r adalah densitas lempengan dan C_p adalah kapasitas kalor spesifik. Persamaan (1.13) dan (1.14) dapat digabung untuk memperoleh :

                                                                                (1.15)

Persamaan tersebut merupakan persamaan difusi kalor satu dimensi. Dengan menggabungkan hukum I dengan hukum Fourier, harga Q yang tidak diketahui telah tereliminasi dan diperoleh sebuah persamaan diferensial yang dapat diselesaikan untuk distribusi suhu, T(x,t). Persamaan tersebut merupakan persamaan yang utama dimana teori konduksi kalor didasarkan.

Dari persamaan difusi kalor di atas diperoleh properti baru untuk kasus konduksi kalor secara transient yaitu difusivitas kalor yang sama pentingnya dengan konduktivitas termal untuk konduksi secara tunak. Difusivitas kalor (a) adalah :

           

Difusivitas kalor adalah ukuran seberapa cepat suatu bahan dapat membawa kalor dari sumber panas. Karena bahan tak hanya dapat meneruskan panas, namun harus dihangatkan,  melibatkan konduktivitas (k) dan kapasitas kalor volumetrik (rC_p).

Persamaan 1.15 tersebut berlaku untuk bidang 1 dimensi. Jika bidang 3 dimensi, maka persamaan tersebut menjadi:

                                                                                (1.16)

 merupakan bentuk persamaan Laplace. Bentuk tersebut dapat diuraikan menjadi:

-       Koordinat kartesian:

                                                                   (1.17)

-       Koordinat silindris:

                                              (1.18)

-       Koordinat bola:  

       (1.19)

Gambar 1.8 Skema koordinat silindris (polar), dan bola

E.   Contoh Soal dan Penyelesaian

1.    Suhu pada sisi depan dan sisi belakang sebuah lempengan timah (k = 35 W/m.K) masing-masing dijaga tetap pada 110⁰C dan 50⁰C. Jika luas lempengan 0,4 m² dan tebal 0,03 m, hitung berapa fluks kalor (q) dan laju aliran kalor (Q) yang dihasilkan.

Penyelesaian:

Diketahui :  - k timah = 35 W/m.K

                     - luas = 0,4 m²

                     - tebal = 0,03 m

Ditanya :     a. Fluks kalor (q)

                     b. Laju aliran kalor (Q)

Jawab:

Asumsi: gradien suhu (dT/dx) = konstan = (T_back – T_front)/(x_back – x_front). Sehingga:

a.   

b.

2.    Sebuah lempengan tembaga (k = 372 W/m.K) tebalnya 3 mm dilapisi stainless steel pada masing-masing sisinya setebal 2 mm (k = 17 W/m.K). Suhu pada dinding composite 400⁰C dan pada sisi yang lain 100⁰C. Tentukan distribusi suhu pada lempengan tembaga dan kalor yang terkonduksi melalui dinding (lihat gambar 1.9)

Gambar 1.9 Penurunan suhu melalui dinding tembaga yang dilapisi stainless steel

Penyelesaian :

Jika kita lihat kembali gambar 1.3 dan persamaan 1.10 akan jelas bahwa penurunan suhu akan terjadi sepenuhnya pada stainless steel, dimana harga k-nya 1/20 kali lebih kecil dari harga k tembaga. Jadi tembaga sebetulnya isothermal pada suhu rerata (400+100)/2 = 250⁰C. Selanjutnya, aliran kalor dapat dihitung pada lempengan stainless steel dengan tebal 4 mm. Dengan menggunakan hukum Fourier, diperoleh:

Ketelitian perhitungan ini dapat ditingkatkan dengan mempertimbangkan adanya tembaga dalam sistem. Pertama, menyelesaikan DT_ss dan DT_Cu.

Sesuai dengan hukum konservasi energi bahwa fluks kalor secara tunak yang melewati ketiga lempengan tersebut harus sama. Sehingga:

                                                                  (1.20)

tetapi

penyelesaian ini diperoleh = 9,94 K. sehingga = (300 – 9.94)/2 = 145 K. ini menunjukkan bahwa T_Cu,kiri = 255⁰C dan T_Cu,kanan = 245⁰C.

Fluks kalor dapat diperoleh dengan menerapkan hukum Fourier pada ketiga lapisan tersebut. Jika kita pertimbangkan adanya lapisan stainless steel akan diperoleh :

Sehingga perkiraan awal akan lebih akurat hingga beberapa persen.

F.    Latihan

1.    Suatu dinding composite terdiri dari lapisan kayu (tebal 5 cm), alumunium (tebal 1 cm), timah (tebal 1 cm), dan gabus (tebal 6 cm). Temperatur di luar lapisan kayu sebesar 60⁰C dan di luar gabus sebesar 10⁰C. Tentukan gradien temperatur yang melalui dinding tersebut. Apakah profil temperatur menunjukkan asumsi tertentu yang mungkin dibuat untuk memberikan analisa terhadap dinding tersebut ?

2.    Buktikan persamaan berikut :

3.    Pada sebuah lempengan setebal 1 cm, diketahui q sebesar 5000 W/m². Temperatur pada sisi yang dingin sebesar 140⁰C. Tentukan penurunan temperatur jika  lempengan tersebut terbuat dari :

a.    Perak

b.    Alumunium

c.    Baja lunak (0,5% karbon)

d.    Es

e.    Kayu cemara

f.     Isolasi (85% magnesia)

g.    Silica aerogel

Tunjukkan keadaan mana yang tidak mungkin terjadi dan jelaskan alasannya.

4.    Ubahlah satuan dari beberapa konstanta berikut dari sistem SI menjadi sistem Inggris:

1. Difusivitas termal (a)
2. Fluks kalor (q)
3. Densitas (r

BAB II

PERPINDAHAN KALOR KONDUKSI TUNAK

 

Deskripsi              :     Membahas tentang perpindahan kalor konduksi tunak baik satu dimensi maupun multi dimensi dan desain sirip disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya.

 

Tujuan Instruksional Khusus (TIK):

1.       Mahasiswa dapat memahami peristiwa perpindahan kalor konduksi untuk kondisi tunak baik satu dimensi maupun multi dimensi.

2.       Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan perpindahan kalor konduksi tunak secara sistematis.

3.       Mahasiswa dapat menghitung unjuk kerja sirip dengan berbagai bentuk geometri.

 

A.   Pendahuluan

Dari bab I telah diuraikan persamaan difusi atau biasa disebut juga sebagai persamaan kalor (Heat Equation). Persamaan tersebut adalah:

                     (2.1)

Ada beberapa kemungkinan yang terkait dengan persamaan tersebut, yaitu:

1.    Harga k konstan dan uniform (k_x = k_y = k_z = k), persamaan (2.1) menjadi: 

                                                     (2.2)

2.    Kondisi tunak (Steady State) dimana temperature (T) tidak tergantung dengan waktu (t) atau , maka persamaan (2.1) menjadi:

                                      (2.3)

3.    Tidak ada kalor yang dibangkitkan ( = 0), maka persamaan (2.1) menjadi:

                                 (2.4)

B.   Konduksi Tunak Satu Dimensi

1.    Tidak ada kalor yang dibangkitkan ( = 0)

Dinding datar seperti gambar di bawah memiliki luas penampang (A) konstan dan konduktivitas termal (k) konstan dan seragam. Konduksi kalor terjadi hanya pada arah x, maka persamaan (2.1) menjadi:

                                                                                    (2.5)

 

Gambar 2.1 Konduksi tanpa pembangkitan kalor pada sebuah dinding datar

Penyelesaian persamaan diferensial ini menghasilkan distribusi temperatur T(x) yang selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung laju perpindahan kalornya.

Persamaan (2.5) di atas, jika diintegrasi dua kali akan menghasilkan:

                                                                                  (2.6)

Syarat batasnya adalah:

o   pada x = 0 maka T(x) = T₁

o   pada x = L maka T(x) = T_2­

Jika dimasukkan syarat batas pertama (x = 0) akan dihasilkan: C₂ = T₁. Dan persamaan (2.6) menjadi:

                                                                                   (2.7)

Selanjutnya syarat batas kedua (x = L) dimasukkan ke persamaan (2.7), akan diperoleh: . Maka persamaan menjadi:

                                                                        (2.8)

Laju aliran kalornya adalah:

                                                                (2.9)

Dalam bentuk lain persamaan (2.9) dapat ditulis sebagai:

                                                                                     (2.10)

Persamaan tersebut analog dengan persamaan arus listrik:

                                                                                       (2.11)

 

Nilai  disebut sebagai tahanan panas konduksi.

2.    Ada kalor yang dibangkitkan ( ¹ 0)

Laju energi yang dibangkitkan per satuan volume adalah . Persamaan (2.1) dapat ditulis:

                                                                             (2.12)

 

Gambar 2.2 Konduksi dengan pembangkitan kalor pada sebuah dinding datar

Syarat batasnya adalah:

- pada x = 0 maka

- pada x = +L maka T = T_L

Integrasi pertama persamaan (2.12) menghasilkan:

                                                                           (2.13)

Dengan menggunakan syarat batas pertama (x = 0) dihasilkan C₁ = 0. Sehingga persamaan (2.13) menjadi:

                                                                            (2.14)

Integrasi kedua persamaan (2.14) menghasilkan:

                                                                               (2.15)

selanjutnya dengan memasukkan syarat batas kedua (x = L) diperoleh: . Harga ini dimasukkan ke persamaan (2.15) menghasilkan:

                                                               (2.16)

C.   Konduksi Tunak Dua Dimensi

Persamaan difusi untuk aliran kalor konduksi tunak dua dimensi dengan k konstan dan seragam serta tidak ada kalor yang dibangkitkan adalah:

                                                                           (2.17)

Penyelesaian persamaan diferensial di atas dapat dilakukan secara grafis, numeris atau secara analitis menggunakan metode pemisahan variabel (separation of variables), dan metode Laplace.

Contoh kasus penyelesaian secara analitis sebagai berikut:

 

Gambar 2.3 Konduksi tunak 2 dimensi tanpa pembangkitan kalor pada sebuah dinding datar

Dengan menggunakan subtitusi :

                                                                          (2.18)

maka persamaan (2.17) dapat ditulis sebagai :

                                                                            (2.19)

Syarat-syarat batas :

a.    q(0,y) = 0                    untuk x = 0 dan 0<y<w

b.    q(x,0) = 0                    untuk 0<x<L dan y = 0

c.    q(L,y) = 0                    untuk x = L dan 0<y<w

d.    q(x,w) = 0                   untuk 0<x<L dan y = w

Penyelesaian persamaan diferensial pada persamaan (2.19) menggunakan metode pemisahan variable (separation of variables)

q(x,y) = X(x).Y(y)                                                                               (2.20)

Persamaan (2.19) menjadi :

                                                                     (2.21)

Persamaan (2.21) merupakan persamaan diferensial dengan variable yang terpisah. Kesamaan pada persamaan (2.21) dapat terpenuhi (untuk x dan y sembarang) jika kedua ruasnya berharga sama dengan sebuah konstanta. Misalkan konstanta tersebut adalah l² (disebut separation constant). Dari persamaan (2.21) dapat diturunkan persamaan-persamaan berikut :

                                                                              (2.22)

                                                                                (2.23)

Pemilihan l² positif ini tidak sembarang, karena jika dipilih harga negatif atau l² = 0, maka dapat dibuktikan bahwa tidak mungkin mendapatkan jawaban persamaan diferensial (2.19) yang memenuhi syarat-syarat batasnya.

Penyelesaian umum persamaan (2.22) dan (2.23) adalah :

X = C1 cos lx + C2 sin lx

Y = C3e^-ly + C₄e^ly

Selanjutnya persamaan (2.20) dapat ditulis sebagai berikut :

                                (2.24)

Gunakan syarat batas a. q(0,y) = 0, menghasilkan C₁ = 0, maka persamaan (2.24) menjadi :

                                                    (2.25)

Masukkan syarat batas b. q(x,0) = 0 pada persamaan (2.25) akan menghasilkan :

Karena C₂ ¹ 0, maka C₃ = -C₄, dan persamaan (2.25) akan menghasilkan :

                                                        (2.26)

Dari syarat batas c. q(L,y) = 0, didapatkan :

sin lL harus sama dengan nol supaya persamaan terpenuhi.

Dengan demikian persamaan (2.26) menjadi :

                                               (2.27)

atau

                                                             (2.28)

Dalam bentuk umum persamaan (2.28) ditulis sebagai :

                                                        (2.29)

Harga C_n dapat dicari dengan menggunakan syarat batas d.

Dengan menggunakan analogi deret infinite dan sifat-sifat fungsi orthogonal, harga C_n dapat dihitung dalam bentuk :

                                                   (2.30)

Subtitusikan C_n ke persamaan (2.29) akan menghasilkan jawaban persamaan diferensial (2.19).

                              (2.31)

Hasil persamaan (2.31) dapat digambarkan sebagai berikut:

 

Gambar 2.4 Distribusi temperatur konduksi 2 dimensi pada dinding datar

D.   Desain Sirip

Penggunaan sirip (fin) pada berbagai peralatan industri ditujukan untuk meningkatkan proses transfer kalor.  Untuk memahami proses aliran kalor yang terjadi pada suatu sirip, dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

 

Gambar 2.5 Aliran kalor pada dinding datar

Dalam bentuk analogi listrik dapat digambarkan sebagai berikut:

 

Persamaan aliran konduksi adalah:

                                                                          (2.32)

Dari persamaan tersebut terlihat bahwa jika h₁ >> h₂ maka harga . Untuk memperbesar harga q, dapat dilakukan dengan memperkecil harga  dengan cara:

-       memperbesar harga h₂

-       memperbesar A (dengan menambah sirip)

Gambar 2.6 Sirip pada tabung

Gambar 2.7 Sirip pada hewan stegosaurus

 

Gambar 2.8 Analisis aliran kalor pada sirip

Tinjau suatu elemen pada jarak x yang memiliki tebal Dx, luas penampang melintang A_c(x), dan luas permukaan A_s(x). Asumsi bahwa konduksi tunak satu dimensi ke arah x, maka:

         (2.33)

atau:

Persamaan dibagi dengan Dx akan diperoleh persamaan berikut:

                                                   (2.34)

dimana P(x) adalah keliling atau perimeter pada jarak x yang dapat ditulis sebagai:

                                                                                      (2.35)

Penyelesaian persamaan (2.34) tergantung pada bentuk geometri sirip serta syarat batas dari permukaan yang ditinjau.

1.    Sirip dengan penampang melintang uniform

Pada sirip dengan bentuk penampang melintang uniform, maka A_c(x) dan P(x) tidak berubah terhadap x, sehingga A_c(x) = A_c dan P(x) = P. Dari persamaan (2.34) untuk k konstan :

                                                                      (2.36)

 

Gambar 2.9 Sirip dengan penampang uniform, (a) straight fin (A_c = w.t dan P = 2(w+t) , (b) pin fin (A_c = p.D²/4 dan P = p.D)

Penyelesaian persamaan diferensial (2.36) sebagai berikut:

Misalkan (T - T_¥) = q, maka

Persamaan (2.36) menjadi :

                                                                                   (2.37)

dimana :                                                                                        (2.38)

Jawaban umum dari persamaan diferensial (2.37) adalah :

                                                                             (2.39)

Untuk menghitung konstanta C₁ dan C₂ diperlukan syarat batas.

Syarat batas I  : pada x = 0 maka T = T₀ atau q(0) = q₀

Syarat batas II : pada x = L maka ada beberapa kemungkinan.

a.    Sirip sangat panjang (x ® ¥) sehingga suhu pada ujung sirip sama dengan suhu sekelilingnya (T_L = T¥)

Syarat batas II : pada x ® ¥ maka q = 0

Penyelesaian persamaan diferensial (2.39) berdasar syarat batas I dan II, diperoleh:

                                                                                (2.40)

dan laju aliran kalor adalah:

                                                                                    (2.41)

b.     Sirip yang ujungnya diisolasi ()

Syarat batas II : pada x ® L maka

Penyelesaian persamaan menghasilkan:

                                 (2.42)

Laju aliran kalor :

                                                          (2.43)

c.    Sirip dengan suhu tertentu pada ujung (T = T_L)

Syarat batas II : pada x ® L maka q = q_L

Penyelesaian persamaan menghasilkan:

                                            (2.44)

Laju aliran kalor :

                                                 (2.45)

d.    Sirip dengan panjang tertentu dan konduksi sama dengan konveksi pada ujung sirip

Syarat batas II : pada x ® L maka

Penyelesaian persamaan menghasilkan:

                                 (2.46)

Laju aliran kalor :

                                   (2.47)

Penyelesaian distribusi temperatur dan laju aliran kalor pada kasus b, c, dan d di atas mengandung ekspresi matematik trigonometri yaitu fungsi-fungsi hiperbolik. Untuk mengingat kembali hubungan matematik di atas, berikut diuraikan empat dasar fungsi-fungsi tersebut, yaitu:

§   

§ 

§ 

§ 

dengan x adalah variabel bebas. Jika didiferensialkan hubungan matematik di atas, akan diperoleh:

§   

§ 

diferensial ini analog dengan  dan .

2.    Sirip dengan permukaan datar dan penampang melintang non-uniform

 

Gambar 2.10 Sirip dengan penampang non-uniform

A₀, P₀              : luas dan keliling penampang melintang pada x = 0

A_L, P_L              : luas dan keliling penampang melintang pada x = L

2t₀, 2t_L             : tebal pada jarak x = 0 dan pada x = L

Untuk tiap satuan lebar, maka :

            Pada pangkal : A₀ = 2t₀ dan P₀ = 2(2t₀ + 1)

            Pada ujung    : A_L  = 2t_L dan P_L = 2(2t_L + 1)

Luas dan keliling penampang melintang pada jarak x :

 dan                      (2.48)

Untuk k konstan, dari persamaan (2.34) dapat ditulis:

       (2.49)

3.    Sirip dengan permukaan kurva dan tebal uniform (circular fin)

 

             r₀ < r < r_L

Gambar 2.11 Sirip dengan permukaan kurva dan tebal uniform (circular fin)

Unjuk kerja sirip

                (2.50)

Untuk sirip dengan luas penampang seragam dengan panjang tak berhingga, maka:

                                                                                      (2.51)

Persamaan (2.51) tersebut memberikan pengertian bahwa fin effectiveness akan naik jika: nilai k besar, nilai P/A_c besar (semakin tipis sirip semakin baik), dan nilai h kecil (terutama pada konveksi bebas).

                       (2.52)

A_t adalah luas permukaan total sirip (total surface area). Laju perpindahan kalor maksimum terjadi jika temperatur permukaan sirip sama dengan temperatur pangkalnya.

Gambar 2.12 Efisiensi sirip pada berbagai bentuk geometri

E.   Contoh Soal dan Penyelesaian

1.    Hitunglah perpindahan kalor per satuan luas melalui dinding komposit seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Asumsi bahwa aliran kalor satu dimensi.

 

Penyelesaian:

Kasus ini dapat dianalsis menggunakan analogi listrik sebagai berikut:

 

Sehingga persamaan aliran kalor per satuan luas untuk kasus di atas adalah:

2.    Sebuah sirip aluminium (k = 200  W/m.⁰C) dengan tebal 3 mm dan panjang 7,5 mm terpasang pada dinding seperti pada gambar 2.9a. Suhu pada pangkal 300⁰C, sedangkan suhu sekitar adalah 50⁰C, dan h = 10 W/m². ⁰C. Hitunglah kalor yang dilepas dari sirip per satuan lebar bahan jika ujungnya diisolasi.

Penyelesaian:

Kita dapat menghitung laju kalor dengan menggunakan persamaan  2.43 (kasus b) untuk sirip dengan penampang uniform. Langkah penyelesaian sebagai berikut:

§   jika w >> t. Sehingga:

§  Untuk lebar bahan 1 m, maka:

A_c = (1)(0,003) = 0,003 m² (4,65 in²)

P   = 2(1+0,003) = 2,006 m = 78,98 in

§  dan kalor yang dilepas adalah:

F.    Latihan

1.    Jelaskan mekanisme perpindahan kalor konduksi.

2.    Deskripsikan proses transfer kalor konduksi yang berlangsung secara tunak?

3.    Mengapa pengandaian aliran kalor satu dimensi penting dalam analisis sirip?

4.    Satu sisi lempengan tembaga yang tebalnya 4 cm dijaga pada suhu 175⁰C. Sisi yang satu lagi dilapisi dengan kaca-serat setebal 1,5 cm. Suhu luar kaca-serat dijaga pada 80⁰C, dan kalor total yang mengalir melalui lempeng komposit itu adalah 300 W. Berapakah luas lempeng itu?

5.    Sebuah batangan tembaga halus dan panjang, diameter 6,4 mm berada dalam lingkungan 20⁰C. Suhu dasar batangan 150⁰C. Koefisien perpindahan kalor antar batang di lingkungan adalah 24 W/m².⁰C. Hitunglah kalor yang dilepaskan batangan.

6.    Sebuah sirip lurus segiempat memiliki tebal 2 cm dan panjang 14 cm, terbuat dari baja dan dipasang pada dinding yang suhunya 200⁰C. Suhu lingkungan 15⁰C, dan koefisien perpindahan kalor  20 W/m².⁰C. Hitunglah rugi kalor dari sirip per satuan tebal.

  

BAB III

KONDUKSI TRANSIENT

 

Deskripsi              :     Membahas tentang perpindahan kalor konduksi transient baik satu dimensi maupun multi dimensi disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya.

 

Tujuan Instruksional Khusus (TIK):

1.       Mahasiswa dapat memahami peristiwa perpindahan kalor konduksi untuk kondisi transient baik satu dimensi maupun multi dimensi.

2.       Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan perpindahan kalor konduksi transient secara sistematis menggunakan berbagai metode.

 

Pada bab ini akan dibahas persoalan konduksi kalor sebagai fungsi waktu (t) yang biasa disebut sebagai konduksi transient atau konduksi tak tunak. Secara umum, kasus konduksi transient dapat diselesaikan dengan beberapa metode, yaitu analisis sistem kapasitas termal tergabung (lumped heat capacity system), pendekatan grafik temperatur transisi, ataupun dengan metode numerik.

Analisis sistem kapasitas termal tergabung dapat digunakan jika temperatur hanya bervariasi terhadap waktu saja. Sedangkan metode pendekatan grafik temperatur transisi seperti grafik Heisler dan Gröber digunakan jika temperatur bervariasi terhadap waktu dan koordinat titik yang ditinjau. Kedua metode ini digunakan untuk sistem konduksi transient satu dimensi. Untuk sistem konduksi transient multi dimensi diperlukan tambahan koordinat lain.

A.   Konduksi Transient 1-D

1.    Analisis Sistem Kapasitas Termal Tergabung    

Tinjau sebuah benda padat seperti terlihat pada gambar 3.1 yang memiliki luas permukaan A_s, volume V, kalor spesifik c, densitas r, temperatur awal pada saat t = 0 adalah T_i, dan temperatur pada saat t tertentu T(t). Benda tersebut berada pada lingkungan dengan temperatur T_¥ dan koefisien konveksi h.

 

Gambar 3.1 Ilustrasi sistem kapasitas termal tergabung

Asumsi bahwa tahanan konduksi dalam benda sangat kecil dibandingkan dengan tahanan konveksi antara permukaan benda dengan lingkungannya. Kesetimbangan energi pada sistem adalah:

                              (3.1)

atau:

                                                             (3.2)

dengan mengambil subtitusi:  maka . Persamaan (3.2) menjadi:

 atau                                              (3.3)

Kondisi awal adalah saat t = 0 maka T(t) = T_i atau q_i = (T_i - T_¥).

Integral dari persamaan (3.3) menghasilkan:

                                           (3.4)

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi:

                                                    (3.5)

atau:

                                                          (3.6)

dimana t adalah thermal time constant. Dalam bentuk persamaan dapat ditulis:

                                                                                 (3.7)

R_t adalah tahanan konveksi, sedangkan C_t adalah lumped thermal capacitance.

Kriteria penggunaan analisis lumped heat capacity system ditentukan oleh bilangan Biot (B_i). Bilangan ini tak berdimensi dan menunjukkan ukuran penurunan temperatur relatif terhadap beda temperatur permukaan dan fluida. Dalam bentuk persamaan:

                                                                                       (3.8)

Penggunaan persamaan ini menghasilkan kesalahan di bawah 5%. L_c adalah panjang karakteristik, yaitu:

                                                                                              (3.9)

Harga L_c tergantung pada bentuk geometri benda, misalnya:

-        Dinding datar      :

-        Silinder panjang            :  dimana r₀ adalah jari-jari luar

-        Bola                      :  dimana r₀ adalah jari-jari bola

Jika bilangan Biot digunakan pada persamaan (3.5), maka akan diperoleh:

                                                    (3.10)

dimana  adalah bilangan Fourier.

2.    Pendekatan Grafik Temperatur Transisi

Penggunaan metode ini dapat dilihat pada contoh konduksi kalor yang melalui plat dengan tebal 2L seperti gambar 3.2 dimana tidak ada energi yang dibangkitkan dan properti plat konstan.

 

Gambar 3.2 Konduksi transient pada plat

Persamaan diferensial konduksi satu dimensi adalah:

                                                                                      (3.11)

Syarat awal :    pada t = 0 maka T(x,0) = T_i                                               (3.12)

Syarat batas:    pada x = 0 dan t > 0 maka                                  (3.13)

                           Pada x = L dan t > 0 maka        (3.14)

Persamaan (3.11) dapat diselesaikan dengan menggunakan variabel substitusi q sebagai berikut:

                                                                                   (3.15)

                                                                                         (3.16)

Didefinisikan parameter tak berdimensi:

                                                                        (3.17)

                                                                                                (3.18)

                                                                                      (3.19)

Dari definisi-definisi di atas, diperoleh:

                                                                         (3.20)

                                                                    (3.21)

                                                                     (3.22)

Persamaan (3.21) dan (3.22) disubtitusikan ke persamaan (3.11) diperoleh:

                                                                                       (3.23)

Kondisi awal dan syarat batas berubah menjadi:

Syarat awal :    pada t^* = 0 maka q^*(x^*,0) = 1                                            (3.24)

Syarat batas:    pada x^* = 0 dan t^* > 0 maka                               (3.25)

                           Pada x^* = 1 dan t^* > 0 maka              (3.26)

Penyelesaian persamaan (3.23) menggunakan metode pemisahan variabel menghasilkan:

                                                     (3.27)

dan                                                                               (3.28)

Harga z_n dapat dihitung dari hubungan berikut ini:

                                                                                     (3.29)

Untuk F_o > 0,2 dan jawaban persamaan (3.27) diambil suku pertama, maka akan diperoleh:

                                                           (3.30)

Pada sumbu tengah plat (x^*), temperaturnya ditunjukkan oleh:

                                                                         (3.31)

sehingga:                                                                        (3.32)

Harga z₁ dan C₁ dapat ditentukan dari tabel 3.1.  

Kasus konduksi transient dapat pula terjadi pada benda-benda tak berhingga. Penyelesaian kasus ini secara analitis sedikit lebih rumit. Untuk itu, dapat menggunakan metode lain yang lebih sederhana yaitu dengan memanfaatkan bagan Heisler. Perhitungan untuk bagan Heisler dilakukan dengan memenggal penyelesaian deret tak berhingga menjadi beberapa suku saja. Bagan-bagan Heisler terbatas pada nilai-nilai bilangan Fourier yang lebih besar dari 0,2 (F_o > 0,2).

Tabel 3.1 Nilai koefisien suku pertama dari penyelesaian deret kasus konduksi transient satu dimensi (Lienhard, J. H., 2005)

Penggunaan bagan Heisler disesuaikan dengan bentuk geometri benda dan kasus yang ditinjau, yaitu:

a.    Dinding datar:

-        Menghitung temperatur sumbu, digunakan gambar 3.3

-        Menghitung temperatur pada jarak x dari sumbu pada temperatur sumbu tersebut, digunakan gambar 3.6

b.    Silinder tak berhingga, digunakan gambar 3.4, 3.7, dan untuk kasus perubahan energi dalam sebagai fungsi waktu, digunakan gambar 3.8.

c.    Bola, digunakan gambar 3.5, dan 3.9

Gambar 3.3 Suhu bidang tengah plat tak berhingga, tebal 2L

 

Gambar 3.4 Suhu bidang tengah silinder tak berhingga, jari-jari r₀

Gambar 3.5 Suhu pusat bola, jari-jari r₀

Gambar 3.6 Suhu sebagai fungsi suhu sumbu pada pusat plat tak berhingga, tebal 2L

Gambar 3.7 Suhu sebagai fungsi suhu sumbu pada silinder tak berhingga, jari-jari r₀

Gambar 3.8 Rugi kalor Q/Q₀ dari silinder tak berhingga, jari-jari r₀, dengan waktu

Gambar 3.9 Rugi kalor Q/Q₀ dari bola, jari-jari r₀, dengan waktu

B.   Konduksi Transient Multi Dimensi

Bagan Heisler digunakan untuk sistem satu dimensi. Untuk perhitungan multi dimensi diperlukan tambahan koordinat lain. Penyelesaian untuk multi dimensi digunakan penyelesaian gabungan.

Sebagai contoh, sebuah silinder pendek yang mula-mula temperaturnya seragam (T_i) dimasukkan ke dalam fluida bertemperatur T_¥ dimana T_¥ = T_i. Aliran konduksi terjadi pada arah x dan r (aksial dan radial). Temperatur dalam silinder tergantung pada x, r, dan t. Sifat-sifat bahan konstan, dan tanpa energi yang dibangkitkan, persamaan diferensial untuk temperatur dalam koordinat silinder adalah:

                                                               (3.33)

Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel. Silinder pendek dianggap terbentuk dari silinder tak berhingga, jari-jari r₀, dan dinding datar dengan tebal 2L seperti gambar berikut:

 

Gambar 3.10 konduksi transient dua dimensi pada silinder pendek

Distribusi temperatur dalam silinder tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

       (3.34)

atau                                   (3.35)

atau                                                                                 (3.36)

Bentuk penyelesaian untuk geometri lain diberikan dalam gambar berikut:

 

Gambar 3.11 Penyelesaian sistem multi dimensi: (a) benda padat semi tak berhingga, (b) dinding datar, (c) silinder tak berhingga, (d) plat semi tak berhingga, (e) balok tak berhingga, (f) silinder semi tak berhingga, (g) balok semi tak berhingga, (h) balok, (i) silinder pendek

Penyelesaian selanjutnya digunakan bagan Heisler seperti pada kasus konduksi satu dimensi.

-                   : menggunakan gambar 3.11a

-             : menggunakan gambar 3.11b

-                : menggunakan gambar 3.11c

C.   Contoh Soal dan Penyelesaian

1.    Sebuah silinder aluminium panjang dengan diameter 5 cm, mula-mula berada pada suhu 200⁰C dan tiba-tiba diberi lingkungan konveksi pada suhu 70⁰C dengan koefisien perpindahan kalor 525 W/m².⁰C. Hitunglah suhu pada jari-jari 1,25 cm, 1 menit setelah silinder itu diberi lingkungan tersebut. Berapa energi yang dikeluarkan per satuan panjang pada saat itu?

Penyelesaian:

 

Soal ini dapat diselesaikan dengan memanfaatkan bagan Heisler. Gambar 3.4 digunakan untuk menghitung suhu pusat silinder, gambar 3.7 digunakan untuk menghitung suhu pada jari-jari r tertentu, dan gambar 3.8 digunakan untuk menghitung rugi kalor. Kondisi kasus dan sifat-sifat aluminium sebagai berikut:

-       q_i = T_i - T_¥ = 200⁰C – 70⁰C = 130⁰C

-       h = 525 W/m². ⁰C (92,5 Btu/h.ft².⁰F)

-       Dimensi: r₀ = 2,5 cm

-       Thermal time constant, t = 60 detik

-       r = 2,5 – 1,25 = 1,25 cm

-       a = 8,4 x 10^-5 m²/s (3,26 ft²/h)

-       k = 215 W/m.⁰C (124 Btu/h.ft.⁰F)

-       r = 2700 kg/m³

-       c = 0,9 kJ/kg.⁰C

Langkah penyelesaian:

a.    Menghitung parameter tak berdimensi

 

b.    Menghitung q₀ berdasarkan gambar 3.4

 dan

c.    Menghitung q dan suhu pada r = 1,25 berdasarkan gambar 3.7

Untuk r/r₀ = 0,5 diperoleh:

 dan

sehingga:

d.    Menghitung rugi energi berdasarkan gambar 3.8

diperoleh:

Untuk per satuan panjang:

 

Sehingga rugi kalor per satuan panjang adalah:

Q/L =(0.65)(6,203 x 10⁵) = 4,032 x 10⁵ J/m (116,5 Btu/ft)

2.    Jika silinder aluminium pada soal 1 mempunyai panjang 10 cm, hitunglah suhu pada jari-jari 1,25 cm dan jarak 0,625 cm dari ujung silinder, 1 menit setelah silinder itu diberi lingkungan seperti soal di atas.

Penyelesaian:

 

Soal ini diselesaikan dengan menggambungkan penyelesaian dari bagan Heisler untuk silinder tak berhingga dengan penyelesaian untuk plat/dinding datar tak berhingga sesuai dengan kombinasi pada gambar 311i atau persamaan (3.36).

Langkah penyelesaian:

a.    Plat tak berhingga, L = 5 cm

Posisi x diukur dari pusat plat, x = 5 – 0,625 = 4,375 cm

x/L = 4,375/5 = 0,875

 dan

Dari gambar 3.3 dan 3.6, masing-masing diperoleh:

 dan

sehingga

b.    Silinder tak berhingga, r₀ = 2,5 cm

Diselesaikan seperti soal 1 dan diperoleh:

 

c.    Gabungan penyelesaian a dan b seperti persamaan (3.36) atau gambar 311i menghasilkan:

sehingga didapatkan: T = T_¥ + (0,265)(T_i - T_¥) 

                                           = 70 + (0,265)(200 - 70)

                                           = 104,5⁰C

D.   Latihan

1.    Deskripsikan proses transfer kalor konduksi yang berlangsung secara transien? Berikan minimal tiga peristiwa konduksi transient dalam kehidupan sehari-hari.

2.    Apa yang dimaksud dengan sistem kapasitas termal tergabung?

3.    Jelaskan makna fisis dari bilangan Biot dan Fourier?

4.    Sepotong aluminium yang beratnya 5,5 kg berada pada suhu awal 290⁰C, tiba-tiba dicelupkan ke dalam fluida yang suhunya 15⁰C. Koefisien perpindahan kalor konveksi adalah 58 W/m². ⁰C. Asumsi bahwa aluminium berbentuk bola. Berapa lamakah waktu yang dibutuhkan untuk mendingin sampai 90⁰C?

5.     Seorang anak menaruh kelerengnya di dalam tungku yang suhunya 200⁰C. Diameter kelereng adalah 15 mm. Setelah beberapa waktu kelereng itu dikeluarkannya dan ditaruh di udara kamar yang suhunya 20⁰C sampai dingin. Koefisien perpindahan kalor konveksi diperkirakan 14 W/m². ⁰C. Hitunglah berapa lama anak itu harus menunggu suhu pada pusat kelereng itu mencapai suhu 35⁰C.

DAFTAR PUSTAKA

Holman, J.P. (1984). Perpindahan Kalor. Erlangga. Jakarta.

Incropera, F.P., DeWitt, D.P. (1996). Fundamentals of Heat and Mass Transfer. John Wiley & Sons. New York.

Koestoer, R.A. (2002). Perpindahan Kalor Untuk Mahasiswa Teknik. Salemba Teknika. Jakarta. 

Kreith, F. Principles of Heat Transfer. Intex Ed.Publ. Jakarta.

Lienhard IV, J.H., Lienhard V, J.H. (2005). A Heat Transfer Textbook. 3^rd . Phlogiston Press. Cambridge. Massachussets. USA.

Suhanan. (2001). Perpindahan Kalor (Seri Konduksi). Bahan Ajar Kuliah Perpindahan Kalor. UGM. Yogyakarta.

DAFTAR GAMBAR

 

Gambar 1.1   Hukum I termodinamika untuk sistem tertutup .................     2

Gambar 1.2   Baron Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) .........     4

Gambar 1.3   Konduksi gas di antara dua dinding panas dan dingin...     5

Gambar 1.4   Nilai konduktivitas termal pada berbagai bahan................     7

Gambar 1.5   Nilai konduktivitas termal logam padat pada berbagai suhu              8

Gambar 1.6   Nilai konduktivitas termal cairan dan gas pada 1 atm.......     9

Gambar 1.7   Konduksi kalor satu dimensi melalui elemen yang berbeda              10

Gambar 1.8   Skema koordinat silindris (polar) dan bola..........................   12

Gambar 1.9   Penurunan suhu melalui dinding tembaga yang dilapisi stainless steel     ..................................................................................................... 13

Gambar 2.1   Konduksi tanpa pembangkitan kalor pada sebuah dinding datar     ..................................................................................................... 17

Gambar 2.2   Konduksi dengan pembangkitan kalor pada sebuah dinding datar  ..................................................................................................... 19

Gambar 2.3   Konduksi tunak dua dimensi tanpa pembangkitan kalor pada sebuah dinding datar.............................................................................   20

Gambar 2.4   Distribusi temperatur konduksi dua dimensi pada dinding datar       ..................................................................................................... 23

Gambar 2.5   Aliran kalor pada dinding datar.............................................   24

Gambar 2.6   Sirip pada tabung.....................................................................   25

Gambar 2.7   Sirip pada hewan stegosaurus..............................................   25

Gambar 2.8   Analisis aliran kalor pada sirip...............................................   26

Gambar 2.9   Sirip dengan penampang uniform,
(a) straight fin(A_c = w.t dan P = 2(w+t) , (b) pin fin (A_c = p.D²/4 dan P = p.D)  ..................................................................................................... 27

Gambar 2.10 Sirip dengan penampang non-uniform................................   30

Gambar 2.11 Sirip dengan permukaan kurva dan tebal uniform (circular fin)          ..................................................................................................... 31

Gambar 2.12 Efisiensi sirip pada berbagai bentuk geometri...................   32

Gambar 3.1   Ilustrasi sistem kapasitas termal tergabung........................   37

Gambar 3.2   Konduksi transient pada plat ................................................   39

Gambar 3.3   Suhu bidang tengah plat tak berhingga, tebal 2L..............   43

Gambar 3.4   Suhu bidang tengah plat tak berhingga, jari-jari r₀............   43

Gambar 3.5   Suhu pusat bola, jari-jari r0....................................................   44

Gambar 3.6   Suhu sebagai fungsi suhu sumbu pada pusat plat tak berhingga, tebal 2L.....................................................................................................   44

Gambar 3.7   Suhu sebagai fungsi suhu sumbu pada silinder  tak berhingga, jari-jari r0.....................................................................................................   45

Gambar 3.8   Rugi kalor Q/Q0, dari silinder tak berhingga, jari-jari r0, dengan waktu        ..................................................................................................... 45

Gambar 3.9   Rugi kalor Q/Q0, dari bola, jari-jari r0, dengan waktu........   46

Gambar 3.10 Konduksi transient dua dimensi pada silinder pendek ...   47

Gambar 3.11 Penyelesaian sistem multi dimensi: (a) benda padat semi tak berhingga, (b) dinding datar, (c) silinder tak berhingga, (d) plat semi tak berhingga, (e) balok tak berhingga, (f) silinder semi tak berhingga, (g) balok semi tak berhingga, (h) balok, (i) silinder pendek..............................   48

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1        Nilai koefisien suku pertama dari penyelesaian deret kasus konduksi transient satu dimensi (Lienhard, J. H., 2005)....................   42